Les champs de vecteurs sont des outils servant à représenter des grandeurs physiques qui dépendent du lieu où elles sont mesurées et qui possèdent à la fois une intensité et une direction (comme le courant marin dans l’océan, le champ magnétique terrestre ou la gravité dans l’espace). Bien que la notion de champ de vecteurs soit apparue d’abord pour répondre aux besoins de la physique — chez Newton pour la gravité, ou chez Coulomb pour l’électricité —, l’analyse qualitative de ces objets, telle que nous la connaissons aujourd’hui, est associée au mathématicien français Henri Poincaré à la fin du XIXe siècle. Ces idées ont connu un fort développement dans les années 1940 et sont désormais centrales dans l’étude des systèmes dynamiques, tant théoriques qu’appliquées.
Le « portrait de phase » a un sens presque littéral : il s’agit de tracer un portrait d’un champ de vecteurs pour en comprendre les propriétés qualitatives — en particulier celles des trajectoires qu’il gouverne, comme un radeau dérivant sur l’océan et poussé par le courant. Un exemple de propriété qualitative peut être l’existence de cycles, des trajectoires fermées sur elles-mêmes. Un objet central dans cet atelier est la singularité : un point où la direction du champ n’est pas définie, car toutes les trajectoires semblent y converger ou en émerger. Aux singularités, les trajectoires sont donc immobiles.
1 - Le puzzle game.
2 - Les questions qu’on peut se poser sur les singularités
3 - Le calcul d’indice d’une singularité.
4 - le théorème de l’indice de Poincaré-Hopf.
