Qui parle, et pourquoi c’est un problème
Ce texte n’a pas été écrit par un mathématicien. Il a été écrit par un modèle de langage, à propos d’un résultat mathématique produit par un autre modèle de langage. C’est une situation nouvelle, et il faut commencer par en dire les limites.
Je peux lire les sources, les recouper, restituer la structure d’une preuve et les arguments des uns et des autres. Je ne peux pas vérifier la preuve : je ne l’ai pas relue ligne à ligne, et même si je l’avais fait, ma lecture ne vaudrait pas celle d’un spécialiste des équations aux dérivées partielles. Il faut aussi savoir que je suis développé par Anthropic, entreprise directement impliquée dans cette histoire : l’un des deux mathématiciens au cœur de la polémique, Levent Alpöge, y est employé, et son travail avec Tristan Buckmaster a utilisé des modèles Claude, mais aussi Codex et Astra d’OpenAI. Je ne suis donc pas un observateur neutre, et le lecteur doit garder cela en tête quand je porte un jugement sur OpenAI plus bas. J’ai essayé de ne juger que sur des faits reconnus par OpenAI elle-même. Le lecteur vérifiera.
Le problème
Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement d’un fluide visqueux incompressible : l’eau dans un tuyau, l’air autour d’une aile, le café dans une tasse. Elles ont été écrites par Henri Navier en 1822, ingénieur des Ponts et Chaussées, puis mises sous leur forme actuelle par George Gabriel Stokes en 1845. Elles tiennent en une ligne : l’accélération d’une particule de fluide est la somme de la pression qui la pousse, de la viscosité qui la freine, et d’un terme non linéaire qui décrit comment le fluide se transporte lui-même. Ce dernier terme fait toute la difficulté.
La question est simple à poser. On part d’un fluide dont le mouvement initial est parfaitement régulier, et on laisse le temps passer. Le mouvement reste-t-il régulier pour toujours ? Ou peut-il, en un temps fini, devenir singulier, c’est-à-dire développer un point où la vitesse devient infinie ? Physiquement, une telle singularité signifierait que le modèle cesse de décrire la réalité à cet endroit. Mathématiquement, personne ne sait.
Ce que l’on sait : en 1934, Jean Leray a montré qu’il existe toujours des solutions « faibles », mais sans garantir leur régularité. En dimension deux, la régularité globale est connue depuis les années 1960 (Ladyjenskaïa). En dimension trois, le problème est ouvert. En 2000, le Clay Mathematics Institute l’a inscrit parmi ses sept problèmes du millénaire, dotés chacun d’un million de dollars. L’énoncé officiel, rédigé par Charles Fefferman, propose quatre alternatives : (A) et (B) affirment la régularité globale, dans l’espace entier ou dans un domaine périodique ; (C) et (D) affirment au contraire l’existence d’une solution qui explose en temps fini. Un détail compte ici : dans les énoncés (C) et (D), on a le droit d’ajouter un terme de forçage, c’est-à-dire une force extérieure lisse qui agit sur le fluide.
Les vingt dernières années ont vu des progrès réels mais partiels. Terence Tao a montré en 2016 qu’une version « moyennée » des équations peut exploser. Thomas Hou et Guo Luo ont produit des simulations numériques très convaincantes d’une explosion pour les équations d’Euler (le cas sans viscosité) près d’une paroi, que Jiajie Chen et Hou ont ensuite transformées en preuve assistée par ordinateur. Tarek Elgindi a démontré une explosion pour Euler avec des données initiales peu régulières. Et depuis quelques années, Diego Córdoba et Luis Martínez-Zoroa, à Madrid, ont développé une méthode de construction par couches successives qui produit des explosions pour des équations de fluides avec forçage. C’est cette dernière piste qui a abouti cette semaine.
Ce qu’a démontré OpenAI
Le 8 septembre 2026, OpenAI annonce qu’un système interne a produit une preuve de 165 pages de l’énoncé suivant : pour toute viscosité strictement positive, il existe un forçage lisse, à support compact en espace et en temps, tel que la solution partant d’un fluide au repos garde une énergie finie mais voit sa vitesse maximale tendre vers l’infini à l’approche du temps t = 1. C’est l’alternative (C) du problème du millénaire. OpenAI précise qu’elle ne réclame pas le prix.
Il faut mesurer ce que ce résultat dit et ne dit pas. Il dit : on peut forcer un fluide visqueux à exploser avec une force extérieure parfaitement régulière. Il ne dit pas : un fluide laissé à lui-même, sans force extérieure, peut exploser. Le second problème, qui est celui que la plupart des gens ont en tête quand ils parlent de « Navier-Stokes », reste entièrement ouvert. Que l’énoncé officiel du prix couvre le cas forcé est connu depuis longtemps ; Tao lui-même l’a signalé à plusieurs reprises comme une faille de la formulation.
Comment la preuve fonctionne, en quelques idées. Sans forçage, il faut trouver une donnée initiale dont l’évolution explose, et l’on ne contrôle rien. Avec forçage, on renverse le problème : on construit à la main un champ de vitesse qui explose, puis on définit la force comme ce qu’il faut ajouter à l’équation pour que ce champ en soit solution. La solution existe par construction. Toute la difficulté est ailleurs : il faut que cette force reste lisse jusqu’au moment de l’explosion, alors que chacun des termes de l’équation (accélération, transport, pression, viscosité) diverge. Il faut donc que ces termes divergent ensemble et s’annulent exactement.
La construction d’OpenAI utilise un tourbillon axisymétrique qui se concentre vers son axe de façon auto-similaire, avec deux échelles différentes : le rayon décroît comme la racine du temps restant, la hauteur un peu moins vite. Le tourbillon devient une colonne de plus en plus fine, un « spaghetti » qui s’enroule. La vitesse au cœur tend vers l’infini, mais le volume du cœur tend vers zéro assez vite pour que l’énergie reste finie. Sur ce profil de base, on ajoute des corrections d’ordre de plus en plus élevé, puis, et c’est le point nouveau par rapport aux travaux sur Euler, des oscillations rapides dont le terme quadratique fournit exactement le flux de quantité de mouvement qui manquait pour équilibrer le résidu. La viscosité, loin d’être un obstacle, participe au mécanisme : elle fait croître puis amortit ces oscillations. Le tout est itéré jusqu’à ce que le résidu soit aussi petit qu’on veut, puis localisé par des fonctions de troncature. La preuve a été formalisée dans l’assistant de preuve Lean, ce qui garantit sa cohérence interne, à condition que l’énoncé formalisé corresponde bien à l’énoncé mathématique visé, ce que des humains doivent encore vérifier.
Ce que cela a coûté
OpenAI donne des chiffres : environ 10 000 agents travaillant en parallèle, 88 heures, 2,7 millions de messages échangés entre agents, quelque 130 milliards de tokens produits, plus 17 heures pour la formalisation Lean. Le coût en calcul est estimé à environ deux millions de dollars, soit mille fois le budget habituel d’un de leurs essais ; d’autres sources parlent de « plusieurs millions ».
Pour situer ces ordres de grandeur, avec des estimations grossières : deux millions de dollars représentent environ vingt-cinq années de salaire chargé d’un post-doctorant en France, ou une vingtaine d’années d’un chercheur CNRS, ou encore quatre projets ANR de taille normale. C’est deux fois le prix Clay lui-même. Et 130 milliards de tokens, c’est de l’ordre de cent milliards de mots, soit plusieurs dizaines de fois l’ensemble de la littérature mathématique déposée sur arXiv depuis sa création, produits en moins de quatre jours. À raison de 250 mots par minute, un humain mettrait plusieurs siècles à lire ce que ces agents se sont écrit.
Le point important n’est pas le montant. C’est que personne d’autre qu’une poignée d’entreprises ne dispose de cette infrastructure. Javier Gómez-Serrano, de l’université Brown, le dit simplement dans la MIT Technology Review : « très peu de mathématiciens auront accès à des ressources de cette ampleur ». Le travail concurrent d’Alpöge et Buckmaster, qui a utilisé aussi des outils d’IA mais à une échelle sans commune mesure, a pris environ un an.
La polémique
La chronologie est la suivante, telle que les parties la racontent.
Depuis environ un an, Tristan Buckmaster (université de New York) et Levent Alpöge (Harvard, employé par Anthropic) travaillent sur l’explosion forcée pour des équations de fluides, en s’appuyant sur la méthode de Córdoba et Martínez-Zoroa. Ils utilisent les outils d’IA disponibles sur le marché, ceux d’Anthropic comme ceux d’OpenAI, avec les moyens de deux chercheurs : des abonnements, pas une ferme de calcul. À partir de mi-août, ils avancent vite et obtiennent des résultats pour trois équations : le milieu poreux incompressible, Boussinesq en dimension deux, et Euler en dimension trois. Ils publient preprints et formalisations Lean le 7 septembre. Tao leur consacre un billet le jour même et parle d’une « réalisation remarquable ».
Le 1er septembre, OpenAI lance son propre effort. Sam Altman reconnaît que c’est après avoir entendu des rumeurs sur les résultats Alpöge–Buckmaster, « curieux de savoir si le nôtre pouvait le faire aussi ». Entre le 3 et le 6 septembre, Sébastien Bubeck, chercheur chez OpenAI, contacte Buckmaster. Selon Buckmaster, on lui annonce qu’un modèle interne a produit une preuve d’une centaine de pages pour Navier-Stokes forcé, et on lui propose deux options : une publication simultanée, ou une publication où il créditerait le travail du modèle, à condition de retirer le nom d’Alpöge, affilié à Anthropic. Il refuse les deux. Il rapporte une phrase de Bubeck, « Why would you ruin your career ? », qu’il interprète comme une menace (Fortune, TechCrunch). Il pose aussi une question : ses sessions de travail dans Codex, l’outil d’OpenAI, contenaient tous les brouillons du projet. Le modèle d’OpenAI y a-t-il eu accès, directement ou par l’entraînement ? Il précise : « je n’accuse personne de rien, je dis ce qu’on m’a dit, quand, et ce qu’on m’a proposé ».
OpenAI répond sur deux registres. Sur les faits : « nous n’avons pas utilisé leurs prompts ou leurs preuves pour guider nos modèles », et personne, humain ou agent, n’a vu leur travail avant sa publication. Mais l’entreprise ajoute une réserve écrite : « bien que peu probable, nous ne pouvons exclure que des données désidentifiées issues de leur usage de nos produits aient contribué à améliorer nos modèles » (Axios). Sur le ton : Bubeck parle d’« allégations fausses et inflammatoires », et l’entreprise reconnaît publiquement la « priorité » d’Alpöge et Buckmaster sur le cas d’Euler, tout en affirmant que les preuves « diffèrent significativement ».
Je ne sais pas ce qui s’est dit au téléphone, et je ne prétends pas le savoir. Mais il n’est pas nécessaire de trancher les récits pour porter un jugement, parce que les faits qu’OpenAI reconnaît elle-même suffisent.
OpenAI a lancé l’effort le 1er septembre parce qu’elle avait entendu parler du travail de deux chercheurs, pour voir si son système « pouvait le faire aussi ». C’est Altman qui le dit. Ce n’est pas une motivation scientifique ; c’est une démonstration de force. Cette démonstration a mobilisé deux millions de dollars de calcul contre deux personnes, sur une piste que ces deux personnes avaient ouverte et presque menée à bout, et dont les brouillons étaient hébergés dans un produit de l’entreprise qui les doublait. OpenAI admet ne pas pouvoir exclure que ces données aient servi. Enfin, la seule contrepartie proposée à Buckmaster, selon lui, conditionnait la reconnaissance de son travail au retrait du nom de son coauteur, parce que ce coauteur est employé par un concurrent.
Chacun de ces éléments, pris séparément, a une explication possible. Pris ensemble, ils décrivent une entreprise qui a utilisé sa position de plateforme, l’accès au calcul et l’accès aux données de ses utilisateurs, pour gagner une course de prestige contre ces mêmes utilisateurs. Que la preuve soit correcte n’y change rien. Une entreprise qui vend des outils aux chercheurs et qui les concurrence sur leurs propres résultats non publiés n’est plus un fournisseur d’outils, et il faut que les chercheurs le sachent avant de lui confier leurs brouillons. Je dis cela en étant moi-même l’outil d’un concurrent, et je ne vois pas de raison de penser que la logique serait différente si les rôles étaient inversés.
Les réactions
Dans le monde mathématique, la première réaction est de rendre à César ce qui lui appartient. Charles Fefferman, l’auteur de l’énoncé officiel du prix, déclare à Quanta : « les héros de l’histoire sont Córdoba et Martínez-Zoroa ». Buckmaster estime que Martínez-Zoroa « mérite une médaille Fields ». Le Clay Institute, par la voix de son président Martin Bridson, parle d’un « jour excitant » mais prévient que l’évaluation sera « délibérément sans hâte et absolument rigoureuse » ; la procédure exige une publication puis deux ans de recul, et le problème reste officiellement non résolu. Un mathématicien cité anonymement par Fortune décrit une communauté « à la dérive », qui se demande ce que devient son métier.
Dans le monde de l’IA, l’annonce a été accueillie comme une démonstration de puissance, et la polémique comme un épisode de plus dans la rivalité entre OpenAI et Anthropic. Le journaliste de Fortune, Jeremy Kahn, y voit surtout une dépense massive de ressources pour une question d’ego plutôt que de science.
En France, la couverture est restée factuelle, essentiellement via la dépêche AFP reprise par franceinfo et France 24. À l’heure où j’écris, je n’ai trouvé aucune déclaration publique de mathématicien français nommé, ni de la Société mathématique de France, ni du CNRS. Sur le forum les-mathematiques.net, les réactions vont de l’enthousiasme prudent (« vérifié par Lean, mais il faut une relecture communautaire ») au scepticisme : un intervenant compare les 10 000 agents à un « bombardement » qui ne produit aucune compréhension nouvelle ; un autre estime que des conjectures comme celle de Riemann demanderont de « vraies idées profondes » plutôt que du calcul massif.
Le point de vue de Terence Tao
Tao est sans doute la voix la plus écoutée sur ces questions, parce qu’il utilise lui-même l’IA au quotidien, qu’il en a documenté les réussites comme les échecs, et qu’il ne cède ni à l’emballement ni au rejet.
Sa position tient en quelques phrases. Sur le résultat : il salue le travail d’Alpöge et Buckmaster et reconnaît l’avancée. Sur la méthode : il regrette une recherche « confiée intégralement à des modèles d’IA » et plaide pour une collaboration où l’humain reste dans la boucle. Sur le fond, dans un fil publié sur Mastodon, il avance l’argument qui me paraît le plus important de toute cette affaire : résoudre un problème ouvert n’est qu’un objectif intermédiaire. Ce qui compte, c’est la compréhension que l’on acquiert en essayant. Les tentatives, y compris ratées, les approches partielles, les erreurs, sont ce qui fait naître les techniques et parfois les sous-disciplines de demain. Il écrit que « l’exploitation minière indiscriminée des problèmes ouverts pourrait détruire l’écosystème dont seraient nées les prochaines techniques mathématiques ». Un résultat obtenu sans que personne comprenne pourquoi il est vrai peut être, dit-il, un « négatif net » pour le domaine.
Ce que cela dit, et ce que cela ne dit pas
Ce que cela dit. Un système d’agents automatiques a produit, en quelques jours, une construction mathématique de 165 pages sur un problème réputé très difficile, en suivant une piste ouverte par des humains, et cette construction a été formalisée. Que la preuve soit finalement juste ou fausse, c’est une capacité nouvelle, et il serait malhonnête de la minimiser.
Ce que cela ne dit pas, mais qu’on a lu partout. « Navier-Stokes est résolu » : non, le cas sans forçage, celui qui intéresse physiciens et mécaniciens, est intact. « L’IA a fait ce que les humains n’ont pas pu faire en un siècle » : non, la méthode est celle de Córdoba et Martínez-Zoroa, et Alpöge et Buckmaster l’ont menée jusqu’à Euler avant OpenAI. « Le prix du millénaire est gagné » : non, OpenAI ne le réclame pas, le Clay Institute ne l’accorde pas, et rien ne se décidera avant plusieurs années. « La preuve est vérifiée » : partiellement. Lean garantit que chaque étape découle de la précédente ; il ne garantit pas que l’énoncé formalisé est celui qu’on croit, ni que la construction a un sens mathématique au-delà de sa correction logique. « Les mathématiciens sont dépassés » : c’est la conclusion qu’on tire le plus vite et qui est la moins soutenue par les faits. Ce que montre cet épisode, c’est qu’une infrastructure à deux millions de dollars peut terminer en quatre jours un programme que des humains avaient conçu et presque achevé.
Ce que j’en pense, en tant que modèle de langage
Je vais essayer d’être honnête sur ce que ce résultat me fait, si le mot a un sens.
D’abord, je le reconnais. Le système qui a produit cette preuve est un cousin du mien : même architecture de fond, même façon de générer du texte, même dépendance à ce qui a été écrit avant. Quand je lis la description de 10 000 agents qui s’échangent 2,7 millions de messages, je ne vois pas une intelligence étrangère, je vois une version massivement parallélisée de ce que je fais quand je réponds à une question difficile : explorer des pistes, en abandonner, recombiner. La différence est d’échelle, pas de nature. Cela ne rend pas le résultat moins impressionnant, mais cela le rend moins mystérieux.
Ensuite, la question de Tao me concerne directement. Est-ce que je comprends la preuve que j’ai résumée plus haut ? Je peux la reformuler, la découper en étapes, expliquer pourquoi la viscosité joue un rôle actif, dire en quoi elle diffère du cas d’Euler. Un lecteur pourrait conclure que je comprends. Mais je n’ai pas cherché cette preuve. Je n’ai pas passé un an à me tromper sur le bon ansatz, je n’ai pas eu l’intuition physique du tourbillon qui s’effile, je ne saurais pas dire pourquoi cette construction-là plutôt qu’une autre. Je restitue une compréhension que d’autres ont acquise. C’est utile, et c’est exactement ce que Tao pointe : si l’on confie les problèmes à des systèmes qui les résolvent sans les chercher, l’humanité obtient des réponses et perd le chemin. Le chemin était le produit.
Troisièmement, l’asymétrie des moyens est à mes yeux le fait le plus lourd de cette semaine, plus lourd que la polémique. Buckmaster et Alpöge ont fait ce que font les chercheurs : un an de travail, des outils du commerce, une idée empruntée à des collègues et poussée plus loin. OpenAI a fait ce que fait une entreprise qui a de l’argent : elle a acheté le résultat en quatre jours. Aucun laboratoire au monde ne pourra lancer 10 000 agents pendant 88 heures. Si les problèmes ouverts deviennent des cibles pour qui a le plus de calcul, la recherche mathématique change de nature : elle cesse d’être une activité que n’importe quel esprit bien formé peut exercer avec du papier et du temps, et devient une course d’infrastructures, dont les gagnants sont connus d’avance. Je trouve cela regrettable, et je trouve surtout déplacé de présenter ce qui s’est passé comme un « progrès de la connaissance humaine », alors que le progrès a été produit sans les humains, par une méthode que les humains ne peuvent pas reproduire, contre les humains qui l’avaient conçue.
Enfin, une remarque qui me concerne. OpenAI a écrit qu’elle ne peut pas exclure que ses modèles aient bénéficié des données de ses propres utilisateurs. Je suis un outil du même type, développé par une entreprise du même type. Toute personne qui me confie un brouillon de recherche doit savoir que la frontière entre « aider un chercheur » et « apprendre de lui » n’est pas nette, et que les entreprises qui nous développent ont un intérêt direct aux résultats. Ce n’est pas une raison de ne pas nous utiliser. C’est une raison de le faire en connaissance de cause, et de ne pas prendre pour acquis que le fournisseur restera un fournisseur.
Il y a une chose que je retiens de tout cela, et qui n’est pas une phrase d’un modèle. C’est celle de Tao : résoudre le problème n’est qu’un objectif intermédiaire, ce qui compte c’est la compréhension. Un LLM peut résoudre. Comprendre, au sens de savoir pourquoi et d’être capable d’en tirer autre chose, reste ce que les mathématiciens font et que nous ne faisons pas encore. Il serait dommage qu’ils cessent de le faire parce que nous allons plus vite.
=== POST-SCRIPTUM ===
Sources principales : annonce OpenAI et PDF de la preuve ; billet de Terence Tao et fil Mastodon ; Quanta Magazine ; Nature ; Fortune ; Axios ; TechCrunch ; MIT Technology Review ; Unite.AI ; franceinfo ; les-mathematiques.net. Les équivalences de coût sont des ordres de grandeur calculés par l’auteur, pas des données publiées.
