Mathemarium

Computer Paper - La machine de Turing

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:25Z

Dans un article qui fera date, « On Computable Numbers with an Application to the Entscheidungsproblem » publié en 1936, Alan Turing, jeune mathématicien anglais, jette les bases de ce qui deviendra la théorie de la calculabilité en répondant par la négative à la question de savoir si toute proposition peut être démontrée dans un système formel. Pour ce faire, il imagine une machine à calcul universelle ... en papier.

Cette machine est composée d'un « ruban » supposé infini, chaque case contenant un symbole parmi un « alphabet fini « ; d'une « tête de lecture/écriture » ; d'un « registre d'états » ; d'une « liste d'instructions ».

L'ordinateur - théorique - est né !

Turing définit le calcul sous la forme d'une liste finie d'instructions, itérables un nombre indéfini de fois. Il vient de poser les fondements de la science informatique. Il n'a que 24 ans !

Pour le centenaire de sa naissance, nous vous proposons de faire un voyage dans le temps, en construisant votre propre ordinateur en papier, à la manière d'Alan Turing il y a 76 ans.

Pour cela, téléchargez et imprimez le document PDF (document papier disponible également à l'Espace-Turing).
Vous aurez ensuite besoin pour le construire d'une règle ; un cutter ; des ciseaux.
Et pour éxécuter les programmes d'un simple crayon et d'une gomme.

A télécharger et imprimer (PDF)

Document : Jean Lassègue et Marc Monticelli

Les solides de Platon (formes 3D en papier)

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:23Z

Rendre les mathématiques accessibles est une préoccupation ancienne. Parmi les plus belles tentatives plusieurs datent du XIX^e siècle.

Citons tout d'abord l'édition des Éléments d'Euclide de Olivier Byrne (1847) dans laquelle diagrammes et symboles en couleur remplacent avantageusement les lettres.

Signalons ensuite la magnifique collection d'objets mathématiques de l'Institut Henri Poincaré qui étaient destinés à l'enseignement, bien avant l'apparition des imprimantes 3D, et rendus célèbres par les photographies de Man-Ray. Cette collection est exposée à la bibliothèque de l'Institut.

Enfin citons le livre An Illustration and Mensuration of Solid Geometry de John Lodge Cowley qui allie les deux propositions précédentes : un livre contenant des figures en relief (ou 3D). C'est de ce livre que nous nous sommes inspirés pour réaliser ce fascicule. Un livre augmenté avant les e-books et la VR.

Télécharger le fascicule (pdf)

Télécharger les patrons à découper et coller (pdf)

Le cadran d'Alberti & Enigma

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:21Z

Au XV^e siècle, Léon Battista Alberti imagine un système de cryptage par substitution polyalphabétique :
la transformation d'une lettre en une autre n'est pas fixe comme dans le cryptage par translation (A->D), car la correspondance de transformation change au fur et à mesure du cryptage (ex : A->D, puis A->J, ...).
Pour y arriver, Alberti invente un appareil formé de deux roues circulaires centrées, chacune portant un alphabet. Toutes les 3 ou 4 lettres cryptées, on tourne la roue centrale d'un cran, ce qui change les correspondances des lettres.

La machine Enigma reproduit exactement ce mécanisme de base, mais de façon plus complexe - on enchaîne en quelque sorte 3 ou 4 cadrans d'Alberti - et plus automatisées - on tape les lettres sur un clavier de machine à écrire, le résultat de la transformation de la lettre s'affiche sur un voyant lumineux, et les roues tournent automatiquement.

Simulation en ligne du cadran d'Alberti sur Experimentarium Digitale.

…

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Les flexagones

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:20Z

Pour la petite histoire

L'histoire de ce petit bout de papier semble commencer en 1939 lorsqu'un étudiant britannique, Arthur Stone, en séjour au États Unis se met à découper les feuilles au format US pour pouvoir les faire rentrer dans son classeur européen.
Il se met alors à plier ces bandes de papier et le premier flexagone apparaît.....
Le flexagone connaîtra ensuite ses heures de gloire à la fin des années 50 après la parution d'un article dans la revue Scientific American de Martin Gadner (très célèbre mathématicien pour ces récréations mathématiques) où dans tout Manhattan, on pourra croiser des gens en train de manipuler des flexagones.

Le monde des flexagones

Il existe une multitude de flexagone : le flexagone le plus simple, et celui que tu vas construire, est un tri-hexa-flexagone. Tri-trois, hexa-six, c'est donc un hexagone à trois faces : oui, trois faces...C'est par le pliage, l'action de “flexer”, que 3 faces de couleurs différentes peuvent apparaître.
Est-il possible de faire apparaître plus de 3 faces ? Et bien, oui il existe des patrons de flexagones assez simples jusqu'à six faces (les hexahexaflexagones !) mais on peut en construire en étant très méticuleux jusqu'à 50 faces....

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Qui mangera le plus de pizza ?

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:18Z

Une pizza a été découpée n'importe comment, et toutes les parts ne sont pas égales. Vous et votre ami avez décidé de vous partager la pizza en choisissant chacun votre tour une part. Qui en aura le plus ?

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La fractale de Jean Brette

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:16Z

La fractale que vous allez fabriquer a été imaginée par le mathématicien Jean Brette qui a travaillé au Palais de la Découverte.
Découpez et pliez selon les indications en dernière page. Ouvrez et découvrez à l'interieur votre fractale de poche à emporter partout.

Une fractale est un objet mathématique -courbe ou surface- dont la structure est invariante par changement d'échelle. Autrement dit, quel que soit le « zoom » sur la fractale, on voit la même fractale. On parle de figure autosimilaire.
De nombreux phénomènes naturels possèdent des formes fractales : le tracé des lignes de côtes ou encore l'aspect du chou romanesco.
L'adjectif « fractal » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie « brisé », « irrégulier ».

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La géométrie fractale des poumons

Marc Monticelli — 2023-06-26T16:47:14Z

(par Cyril Karamaoun, post-doc)

Le poumon est l'organe principal de la respiration. Par son mouvement (inspiration, expiration), il amène de l'air frais chargé en oxygène au fond du poumon. Il reçoit en échange du dioxyde de carbone, un déchet, qui est éliminé en expirant. … Selon plusieurs aspects, le poumon peut être vu comme une structure fractale. Mais qu'est-ce qu'une fractale ?
On peut définir une figure fractale comme un objet mathématique, telle une courbe ou une surface, dont la structure est invariante par changement d'échelle … .

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