Mathemarium

Jouets d'enfants de Grothendieck

Marc Monticelli — 2025-09-20T18:16:02Z

A l'occasion de l'exposition « Grothendieck Mathématicien - Le temps des réflexions » , nous avons créé un jeu de construction directement inspiré des célèbres Dessins d'enfants de Grothendieck introduit dans son Esquisse d'un programme pour un poste au CNRS.

Ce jeu de construction est dans l'esprit de de document dans lequel Grothendieck propose un jeu de “Lego-Teichmüller” jusqu'à en décrire le contenu des boites.
Toutefois, il ne s'agit pas d'un atelier en soit, plus un hommage. Il peut être prêté dans le cadre d'expositions ou de conférences.

Pantalon et couture géométrique

Marc Monticelli — 2025-09-20T17:52:01Z

Toute surface, aussi compliquée soit-elle, est fait en combinant des éléments de base que les géomètres appellent « pantalons ». En fait, les mathématiciens montrent que toute surface est identique, dans un sens à définir, à une surface à n-trous.

De combien de pantalons avez-vous besoin pour faire une surface à 5 trous, à 6 trous, à n-trous ?

Le jeu de construction de cet atelier suit la démarche inverse : construire une surface à l'aide de pantalons, à l'aide de raccord techniques qui sont des cylindres, plus ou moins courbés.

Phasorama.

Marc Monticelli — 2025-09-20T17:23:26Z

Les champs de vecteurs sont des outils servant à représenter des grandeurs physiques qui dépendent du lieu où elles sont mesurées et qui possèdent à la fois une intensité et une direction (comme le courant marin dans l'océan, le champ magnétique terrestre ou la gravité dans l'espace). Bien que la notion de champ de vecteurs soit apparue d'abord pour répondre aux besoins de la physique — chez Newton pour la gravité, ou chez Coulomb pour l'électricité —, l'analyse qualitative de ces objets, telle que nous la connaissons aujourd'hui, est associée au mathématicien français Henri Poincaré à la fin du XIX^e siècle. Ces idées ont connu un fort développement dans les années 1940 et sont désormais centrales dans l'étude des systèmes dynamiques, tant théoriques qu'appliquées.

Le « portrait de phase » a un sens presque littéral : il s'agit de tracer un portrait d'un champ de vecteurs pour en comprendre les propriétés qualitatives — en particulier celles des trajectoires qu'il gouverne, comme un radeau dérivant sur l'océan et poussé par le courant. Un exemple de propriété qualitative peut être l'existence de cycles, des trajectoires fermées sur elles-mêmes. Un objet central dans cet atelier est la singularité : un point où la direction du champ n'est pas définie, car toutes les trajectoires semblent y converger ou en émerger. Aux singularités, les trajectoires sont donc immobiles.

1 - Le puzzle game.
2 - Les questions qu'on peut se poser sur les singularités
3 - Le calcul d'indice d'une singularité.
4 - le théorème de l'indice de Poincaré-Hopf.

Triangul'Aire

Marc Monticelli — 2025-04-04T07:40:50Z

Il s'agit d'une idée d'Alineor Defaux, et conception par Camille Bisson et Stéphane Cord lors du 4^e Fabrikathon à Nice.

Une idée d'activité

Rappeler comment on montre la formule A=(B*h)/2 pour un triangle rectangle et montrer comment on generalise pour un triangle quelconque (avec un decoupage)
Donner la formule abstraite (avec des lettres pour representer base et hauteur) et d'expliquer / interpreter pour dire notamment que cela signifie que tous les triangles ayant meme B et h ont meme aire
Montrer le triangulaire (et expliquer que le nombre de billes est une approximation de l'aire

Mathématiques en ville : Sur les traces du pavage P2.1 de la place Masséna de Nice

2024-05-02T11:31:14Z

Saviez-vous que chaque jour, en traversant la célèbre place Masséna à Nice, vous marchez sur un véritable trésor mathématique ? Ce magnifique damier noir et blanc qui s'étend sous vos pieds n'est pas qu'un simple revêtement décoratif : c'est une parfaite illustration des pavages réguliers et de la géométrie dans l'espace public.

Notre atelier vous invite à redécouvrir cette place emblématique avec un regard de mathématicien. Nous explorerons ensemble comment ce pavage en damier respecte des règles de géométrie : symétrie, translation, rotation.

À travers des activités ludiques et des manipulations concrètes, nous aborderons les notions de pavage du plan, de motifs répétitifs et de transformations géométriques.

Un atelier accessible à tous, où la beauté de Nice rencontre l'élégance des mathématiques !

Un ballon rond ? Quelle drôle d'idée.

Marc Monticelli — 2024-05-02T11:18:28Z

Atelier inspiré par notre collègue Thomas Fernique lors de conférences au CIRM en avril 2024. Photo ci-dessus prise à la bibliothèque du CIRM des vrais ballons de foot en cuir de Thomas.
« Ballons de foot » avec pentagones adjacents.

Le traditionnel ballon de foot est composé de 12 pentagones et de 20 hexagones avec pour règle que 2 pentagones ne peuvent pas être adjacents. On peut montrer que cette contrainte suffit à caractériser le ballon classique. Il s'agit de l'icosaèdre tronqué.
Si on supprime cette règle en permettant d'avoir des pentagones adjacents on peut alors obtenir des « patatoïdes » non sphérique. Il s'agit de fullerènes spécifiques ou buckyballs, et il en existe 1812 différentes !!

Pour cet atelier nous avons fabriqué des pentagones et des hexagones aimantés, facilement manipulables pour tester et trouver les configurations (étrangement, nous n'avons pas trouvé de jeux de construction géométrique dans le commerce avec ces 2 formes. Nous sommes peut-être passé à coté).

A lire, l'article + simulations en ligne sur le site « Experimentarium Digitale » : https://experiences.mathemarium.fr/Un-ballon-rond-Quelle-drole-d-idee.html

Fiche pédagogique à venir.

Introduction aux mathématiques du Rubik's cube

Marc Monticelli — 2024-05-02T11:17:35Z

Cet atelier a été réalisé à l'occasion des 50 ans du Rubik's Cube par 3 étudiants de L3 (Alexis Roeckel, Romain Soyer et Thibault Jaouen) dans le cadre des « engagements citoyens ». Il se décompose en plusieurs étapes. La première est accessible même pour des élèves primaires sous forme de jeu et peut être un atelier à part entière pour introduire les groupes sans le dire.

1 - A table !!
ou l'art de permuter pépé et mémé

Dans ce jeu, 8 personnes doivent respecter un plan de table et c'est à vous de les replacer correctement.

2 - Comptez-vous
1, 2, 3, … 3 674 160

Nous allons nous intéresser au Rubik's Cube 2x2x2, en commençant par se demander : combien y'a t-il de mélanges possiblesavec deux cousins du rubik's cube.

2.1 - Le cube aux 8 sommets colorés.
2.2 - Le Rubik's Cube sauvage.

3 - Les configurations du rubik's cube 2x2x2

Nous avons vu que le Rubik's Cube sauvage autorise des configurations (positions et orientation des petits cubes sur le grand cube) qui sont impossibles à obtenir avec un vrai Rubik's Cube, mais pourquoi ?

Fiche pédagogique à venir. Le cartel avec le déroulé des étapes de la fête de la science est disponible sur demande .

Rigide ou déformable ? Les maths des constructions magnétiques

Marc Monticelli — 2024-04-19T07:50:33Z

Si on monte une étagère sans croisillon derrière, elle risque de s'écrouler.
Combien de liens sont alors nécessaires pour lier rigidement dans le plan entre eux 3 sommets ? 4 sommets ? n sommets ?

Et si on pose maintenant la même question dans l'espace à 3 dimensions ?

Avec les fameux jeux de construction constitués de sphères et de tiges aimantées, nous vous proposons d'aller à la rencontre de la théorie mathématique de la rigidité des structures formées de pivots et de barres.

Parmi les questions qu'on peut se poser en 2 dimensions :

Avec n boules et l liens, est-ce que je peux faire deux assemblages différents, l'un rigide et l'autre pas ? Ou est-ce que le caractère rigide ou déformable d'un assemblage ne dépend que des nombres de boules et de liens n et l ?
…

Parmi les questions qu'on peut se poser en 3 dimensions :

On prend 2 assemblages rigides avec n1 et n2 boules ; combien de barres sont nécessaires pour les attacher de façon rigide ?
…

(Atelier conçu par Julien Barré pour « Sciences et expériences » en 2013 quand il était au laboratoire J.A. Dieudonné).

Fiche pédagogique à venir.

Fractiodrome égyptien : Venez défier les pharaons et les pharaonnes d'Egypte !

Marc Monticelli — 2023-10-11T15:08:04Z

Cet atelier va faire l'objet d'une communication à venir. Nous le testons lors de la fête de la science du 12 au 15 octobre 2023. Si vous êtes intéressés pour reproduire cet atelier, contactez-nous.

Notre atelier se passe en Égypte à l'époque des pharaons et s'intéresse en particulier à la manière dont les égyptiens calculaient et écrivaient les nombres. Pour certaines quantités, ils utilisaient des « fractions » mais des fractions particulières qui sont des quantièmes égyptiens que par abus de langage et pour plus de simplicité nous définirons comme des fractions de type $ \frac{1}{n} $.

Nous ne rentrerons pas pour l'instant dans les détails de la numération précise de ces quantièmes ni même dans l'utilisation de leurs tables (que nous verrons dans un prochain atelier !) mais nous allons « simplement » les utiliser pour faire des partages, pour compter, pour comparer, et pour s'amuser un peu aussi ! Une façon de se familiariser avec les fractions qui semblent toujours un peu obscures, de façon ludique.

Les défis à relever : comparer/observer

Pour bien comprendre le fractiodrome, tu commenceras par complèter le fractiodrome de plusieurs manières avec des $ 1/6 $ ; des $ 1/4 $ ; des $ 1/9 $.
Que remarques-tu ?

Tu es à présent prêt à aider Kéops et Kephren à se départager. Ils sont toujours en conflit ces deux pharaons et parfois pour pas grand-chose. Voilà leur dilemme :

Khéops a des pièces de $ 1/4 $ ; $ 1/16 $ ; $ 1/8 $ et $ 1/36 $ de dében.
Kephren lui a des pièces de $ 1/6 $ ; $ 1/9 $ ; $ 1/12 $ ; $ 1/18 $ e de dében.

Keops affirme être le plus riche. A-t-il raison ?

Les défis à relever : calculer

Néférousobek, la première femme pharaon surnommée la « reine crocodile », était extrêmement puissante et sûrement assez cruelle. Au Mathemarium, on raconte qu'elle aimait mettre au défi ses sujets et que si ils ne réussissaient pas, ils finissaient dans sa fosse à crocodiles … .
À toi de jouer : complète le fractiodrome avec les pièces que tu as à ta disposition. Attention, tu n'as le droit d'utiliser que des pièces de couleurs différentes (une seule pièce de chaque couleur).

Les défis à relever : partager/compléter

Ramses II était un pharaon très puissant et son règne a été très long. Sa descendance a donc été très importante et la succession extrêmement difficile à faire car on dit qu'il a eu au moins 100 enfants !!!

La question que tu devras résoudre est la suivante : comment Ramsès pourra-t-il réussir à partager ses terrains entre ses enfants sachant que Ramsès a toujours eu un enfant préféré et qu'il refusait de répartir équitablement ses terres (enfin, c'est ce qui se raconte dans les couloirs du Mathemarium).
Aide-le à résoudre son problème pour 4 de ses enfants, 5 de ses enfants, 6 de ses enfants, 7 de ses enfants, 8 de ses enfants, 9 de ses enfants et 10 de ses enfants.
Attention, tu ne dois utiliser que des pièces de couleurs différentes. Tu verras que certains partages sont plus difficiles que d'autres.
Sont-ils tous possibles ?
À partir de combien d'enfants Ramsès ne pourra pas donner plus que la moitié du terrain à son enfant préféré ?

Fais une photo une fois que tu as réussi à compléter le fractiodrome, tu peux aussi t'aider de la calculatrice de ton téléphone pour vérifier (ou pour t'aider quand ça devient vraiment trop difficile !).

L'épreuve des poteaux mathématiques

Marc Monticelli — 2023-10-10T15:57:20Z

Le dispositif
On dispose d'une planche munie de poteaux, sur laquelle nous allons étudier des lacets.

Un lacet est une courbe qui se referme sur elle-même. Nos lacets seront modélisés par une ficelle sur la planche. Les poteaux sont de différentes couleurs pour les différencier. Ici nous prenons des lacets qui commencent et se terminent sur le poteau neutre sans couleur (la base). On appelle un lacet trivial un lacet qui n'entoure aucun poteau.

Le problème
On se donne plusieurs poteaux (autant qu'on veut).
Est-il possible de trouver un lacet qui n'est pas trivial (qui entoure au moins un poteau), de telle sorte qu'en retirant n'importe lequel des poteaux, ce lacet devient trivial (n'entoure plus aucun poteau).

En mathématique on aime partir du cas le plus simple, pour ensuite essayer de généraliser. Nous allons donc regarder le problème avec 1, 2 puis 3 poteaux.

Cas avec 1 poteau
Avec un seul poteau, on comprend que n'importe quel lacet non trivial est solution du problème. Il n'y a donc en réalité pas de problème.

Cas avec 2 poteaux
Ne cherchez pas trop compliqué, il existe une solution avec seulement 4 tours au total autour des poteaux. Attention, ce n'est pas aussi facile qu'il n'y paraît !

Cas avec 3 poteaux
On peut tenter de généraliser les idées du cas à deux poteaux. Ici il est presque impossible de trouver la solution à la main, sans réfléchir. Il va falloir comprendre la solution à deux poteaux.
Vous pouvez tenter de représenter les lacets en le décomposant sous forme de “Couleur du Poteau / Sens autour du poteau”.

Cas supérieur à 3 poteaux
Où la chance ne vous sera d'aucun secours, mais les maths oui… Une généralisation des deux précédents cas peut résoudre le problème.