Mathemarium

De Interface Builder aux LLM : l'évolution de l'abstraction du code

Marc Monticelli — 2026-04-26T09:07:53Z

Comment deux paradigmes fondateurs nés dans les années 1970/80 traversent le temps pour trouver un prolongement inattendu dans l'usage des LLM pour la programmation — et ce que cela signifie pour ceux qui ont fait de l'interactivité leur outil de pensée.

— Jean-Marie Hullot · NeXT · 1988 — Retour sur une continuité intellectuelle

I - Une rupture silencieuse

En 1988, Jean-Marie Hullot livrait avec Interface Builder une véritable rupture conceptuelle, dont la portée n'a pas encore été pleinement reconnue à sa juste valeur. Sur les machines NeXT de Steve Jobs, un développeur pouvait pour la première fois voir une interface graphique prendre forme, relier des boutons à du code par de simples fils, et observer le comportement de son application sans jamais relancer le compilateur. L'acte de programmer cessait d'être une affaire de texte solitaire pour devenir un dialogue visuel, immédiat, incarné.

L'enjeu dépassait largement le confort d'utilisation. Interface Builder portait deux idées d'une profonde cohérence intellectuelle : d'une part, la mutualisation du code comme mode de construction collectif ; d'autre part, l'interactivité comme mode de pensée du développement. Près de quarante ans plus tard, ces deux idées trouvent leur prolongement logique dans les grands modèles de langage appliqués à la programmation.

Le bon outil ne s'interpose pas entre l'intention et sa réalisation. Il les fait coïncider.

— Principe de conception, NeXT Software, années 1990

II. Premier paradigme : la mutualisation du code

L'idée n'est pas née chez NeXT. Elle est née à Xerox PARC, dans les années 1970, avec Smalltalk — le premier langage à pousser jusqu'à sa conclusion logique le principe de l'héritage orienté objet. Alan Kay et ses collègues avaient compris quelque chose de profond : si le code peut être organisé en objets qui s'appuient sur ceux qui les précèdent sans les réécrire, alors l'effort de programmation peut être mutualisé — écrit une fois, réutilisé partout, enrichi collectivement.

Smalltalk allait encore plus loin : son environnement n'était pas un programme qu'on compile et qu'on relance, mais une image vivante — un espace d'objets en fonctionnement permanent. Changer le code d'une méthode dans le navigateur de classes suffisait pour que tous les objets en cours d'exécution adoptent immédiatement le nouveau comportement, sans interrompre la machine. La résolution des envois de messages entre objets étant dynamique, le code modifié prenait effet au prochain envoi de message. On pouvait littéralement réparer un programme en train de tourner. Ce principe — le code comme matière vivante, immédiatement réactive — est l'intuition fondatrice de toute l'interactivité qui suivra.

Mais Smalltalk restait l'affaire de chercheurs et de spécialistes. C'est NeXT qui a professionnalisé ce paradigme en le cristallisant dans ses API, Foundation et AppKit : des frameworks stables, documentés, prêts pour la production industrielle. Le développeur n'avait plus à écrire lui-même les fondations de son application ; il héritait d'une infrastructure partagée et pouvait consacrer son énergie à ce qui la distinguait vraiment.

Interface Builder a accompli un pas supplémentaire, décisif : il a démocratisé cette mutualisation jusqu'au non-programmeur. En plaçant un objet NSButton sur un canvas, même quelqu'un qui ne lisait pas Objective-C instanciait des milliers de lignes de code écrites, testées, documentées par d'autres. Il ne créait pas un bouton ; il convoquait le bouton qu'une communauté avait construit avant lui, sans avoir à en connaître la mécanique interne.

Ce geste — appeler plutôt qu'écrire, agencer et combiner plutôt que construire — révèle une vérité économique simple : ce qui est mutualisé n'a plus à être réinventé. Ce que Smalltalk avait théorisé, ce que NeXT avait industrialisé, Interface Builder l'a rendu accessible.

La généalogie

Smalltalk — invente la mutualisation par héritage et le code vivant (image, résolution dynamique). Réservé aux chercheurs.

NeXT / AppKit — professionnalise la mutualisation. Accessible aux développeurs experts.

Interface Builder — donne au code vivant sa dimension visuelle. Démocratise l'accès aux non-programmeurs.

Le principe invariant

À chaque étape, le cercle de ceux qui peuvent bénéficier du code mutualisé s'élargit — sans que ceux qui entrent dans ce cercle aient besoin de comprendre ce qui se passe en dessous. La puissance est préservée ; la barrière d'entrée s'abaisse.

III. Deuxième paradigme : l'interactivité comme mode de pensée

Le second apport d'Interface Builder est peut-être encore plus radical — ou plus précisément, c'est là qu'il accomplit sa contribution la plus originale. Car l'idée du code immédiatement réactif n'est pas née avec lui : Smalltalk l'avait déjà inscrite au cœur de son architecture, avec son image vivante et sa résolution dynamique des messages. Ce que Smalltalk avait inventé pour le développeur expert, Interface Builder allait le rendre visible et accessible.

Avant Interface Builder, programmer c'était écrire, compiler, exécuter, observer — un cycle linéaire, différé, où la pensée et le résultat étaient séparés par le temps de compilation. Interface Builder a cassé ce cycle d'une façon nouvelle : non pas seulement par la dynamique du runtime, mais par le geste visuel.

Grâce au runtime dynamique d'Objective-C — hérité directement de Smalltalk — et au mécanisme IBAction/IBOutlet le développeur reliait un bouton à une méthode par un simple tracé à la souris. L'effet était immédiat, visible, réversible. Le code et son incarnation graphique existaient simultanément, dans un même espace mental. On ne décrivait plus l'interface : on la modelait.

Cette idée — qu'on comprend mieux en manipulant qu'en lisant, qu'on pense mieux en interagissant qu'en décrivant — n'est pas propre au logiciel. C'est un mode de pensée dont les racines remontent à Dewey, à Papert, et que les chercheurs en sciences cognitives nomment aujourd'hui cognition incarnée.

S'il y a le moindre retard dans cette boucle de rétroaction, entre le moment où l'on pense à quelque chose, celui où on le visualise et celui où on le concrétise, alors tout un univers d'idées ne verra tout simplement jamais le jour. Ce sont des pensées que nous ne pourrions pas avoir.

— Bret Victor, Inventing on Principle (2012)

IV. Perspective personnelle — Trente ans à construire des interfaces pour penser

J'ai découvert NeXT en 1988, et exploité Interface Builder dès 1989 comme un outil qui allait me libérer des contraintes répétitives de la construction d'interfaces graphiques. En tant qu'ingénieur en calcul scientifique aux côtés des physiciens Pierre Coullet puis Jean-René Chazottes, j'en ai pleinement pris la mesure. Nous cherchions ensemble une réponse à une question qui n'était pas de nature informatique : comment rendre les équations et les mathématiques vivantes, accessibles, intuitives ? Comment, au moins dans un premier temps, s'affranchir du formalisme pour leur donner cette immédiateté ?

Ma réponse, construite sur trois décennies au CNRS, a toujours été la même : par l'interactivité. Pas l'interactivité comme agrément pédagogique, mais comme mode de production de connaissance.

Modifier un paramètre, changer une condition initiale, passer d'une représentation à une autre : chacun de ces gestes fait apparaître un aspect différent du même modèle. Ce n'est pas une démonstration, mais ce n'est pas non plus une simple illustration. C'est un espace d'exploration où l'intuition se forme au contact du phénomène. On comprend autrement une bifurcation de Hopf lorsqu'on la voit se préparer, puis advenir sous ses doigts : l'équilibre perd sa stabilité, une oscillation naît, le système change de régime. Le théorème établit les conditions de cette transition ; l'outil interactif en fait éprouver la dynamique interne.

Des simulations visuelles interactives comme instruments de pensée
Ce que j'ai développé — des 70 simulations de l'eBook Dynamical Systems de Chazottes et Monticelli à celles pour le MOOC sur les probabilités de l'X, des visualisations interactives d'Images des maths à l'Experimentarium Digitale — procède d'un même principe : l'outil numérique ne doit pas illustrer la mathématique, il doit la rendre praticable. Il doit en réduire le coût intellectuel d'accès sans en trahir la rigueur.

Un chercheur qui interroge un système de Lorenz avec de tels outils ne regarde pas l'équation mise en image : il met le système à l'épreuve. Il modifie un paramètre, relance la trajectoire depuis une condition initiale voisine, observe l'attracteur se déformer, change de projection, revient en arrière, compare deux régimes. Chaque manipulation n'est pas seulement un changement d'affichage ; c'est une question posée au modèle. Là où l'article expose un résultat déjà stabilisé, l'outil interactif rend perceptible le chemin par lequel une intuition se forme : repérer une transition, soupçonner une bifurcation, distinguer ce qui relève du phénomène et ce qui relève de la représentation. Le chercheur ne reçoit pas une démonstration ; il construit un rapport actif au système. Ce moment n'est pas encore la preuve, ni la publication, ni même nécessairement un résultat. Mais il appartient pleinement au travail de recherche : c'est le moment exploratoire où les hypothèses deviennent pensables.

Ce parallèle n'est pas rhétorique. Dans les deux cas, ce qui est en jeu est une réduction de la latence cognitive : le délai entre l'intention et l'observation de son effet. Plus ce délai est court, plus la pensée peut se déployer librement. L'interactivité n'est pas un luxe pédagogique — c'est une condition de la créativité.

La simulation interactive (ma pratique)

Le chercheur manipule paramètres, conditions initiales, points de vue sur le système — comme on explore un territoire depuis plusieurs directions. La mathématique cesse d'être un texte à déchiffrer pour devenir un objet qu'on peut tenir dans ses mains, retourner, interroger.

La barrière est la formulation symbolique.

L'analogie avec Interface Builder

Le développeur câble un composant, observe l'effet dans l'interface, ajuste, recommence. Le code devient un espace de manipulation plutôt qu'un texte à compiler.

La barrière est le cycle compile-run-debug.

Quand les LLM renversent la perspective
Pendant trente ans, j'ai construit des outils pour que d'autres — chercheurs, étudiants, élèves — puissent faire des mathématiques sans maîtriser la programmation. Je me suis fait l'artisan de l'interactivité pour autrui. Je savais coder ; mes outils affranchissaient ceux qui ne savaient pas.

Les LLM appliqués à la programmation ont renversé cette asymétrie.

Lorsque je développe aujourd'hui avec Claude Code — que je décris en langage naturel une simulation d'un modèle mathématique, que j'observe le code généré, que je le corrige par une phrase, que je vois l'animation évoluer — je vis exactement l'expérience que j'ai cherchée à offrir à mes utilisateurs depuis le début. Je suis devenu l'utilisateur de mon propre paradigme.

Je construisais des interfaces pour que les mathématiciens modélisent et explorent leurs équations intuitivement. Les LLM me permettent désormais de programmer intuitivement moi-même.

La boucle de rétroaction est identique : décrire une intention → observer un résultat → affiner par conversation → observer à nouveau. Ce n'est pas du développement logiciel traditionnel. C'est de l'exploration — la même exploration que je cherchais à rendre possible pour des équations différentielles ou des processus stochastiques, désormais appliquée au code lui-même.

Mes simulations interactives

Curseur → paramètre → observation instantanée du comportement du système. La mathématique se fait expérience tactile.

Interface Builder (1988)

Câblage → connexion objet-méthode → observation instantanée du comportement UI. Le code se fait expérience visuelle.

LLM pour la programmation (aujourd'hui)

Description → code généré → observation → raffinement conversationnel. La programmation se fait expérience dialogique.

Ce que Jean-Marie Hullot avait accompli pour l'interface graphique — rendre le code manipulable sans en effacer la structure — les LLM l'accomplissent pour la programmation dans son ensemble. Et pour moi, il y a dans cette convergence quelque chose qui ressemble à une cohérence : les mêmes principes qui m'ont guidé dans la construction de mes outils guident, à plus grande échelle, l'évolution de l'acte de programmer.

V. Les LLM comme aboutissement des deux paradigmes

L'usage des LLM pour la programmation apparaît aujourd'hui comme le prolongement cohérent de ce que Smalltalk et Interface Builder avaient initié. Dans ce domaine précis, les grands modèles de langage ne sont pas une rupture avec le passé informatique — ils en sont l'extension naturelle, conduite jusqu'à sa conséquence ultime.

La mutualisation portée à l'échelle du corpus mondial de code
Smalltalk mutualisait le code d'une poignée de chercheurs à Xerox PARC. Les API de NeXT l'étendaient à une communauté professionnelle. Interface Builder l'ouvrait aux non-programmeurs, capables d'assembler des composants sans en lire le code. Les LLM spécialisés dans la programmation franchissent la dernière frontière : ils mutualisent l'intégralité du savoir collectif en matière de code — des décennies de dépôts publics, de documentation technique, de discussions entre développeurs, d'articles algorithmiques — et l'ouvrent à quiconque peut formuler une intention en langue naturelle.

Quand je demande à Claude d'écrire un programme informatique qui simule l'évolution d'un système de Lotka-Volterra en utilisant la méthode numérique dite RK4, c'est-à-dire Runge-Kutta d'ordre 4, ma démarche est de même nature que celle du développeur NeXT qui instanciait un NSButton, ou celle de l'utilisateur d'Interface Builder qui le glissait sur un canvas. Je convoque un effort de programmation collectif mutualisé, sans en maîtriser tous les mécanismes internes. Ce qui change, c'est l'échelle : planétaire plutôt que communautaire, diachronique plutôt que synchronique. Et ce qui change aussi, c'est la barrière d'entrée : une phrase en français plutôt qu'un geste de câblage.

L'interactivité portée au langage naturel
Interface Builder avait substitué le câblage graphique au cycle compile-run-debug. Les LLM substituent la conversation en langue naturelle à l'acte d'écriture syntaxique. La latence change de nature : ce n'est plus le temps de la compilation ni celui du débogage — c'est le temps de la formulation. L'obstacle n'est plus technique ; il est sémantique.

Et ce qui est remarquable, c'est que cette interactivité ne sacrifie pas la structure. Comme Interface Builder permettait d'assembler visuellement des composants sans renoncer à leur richesse interne, les LLM permettent de décrire une intention en langage naturel sans renoncer à la précision du code qui en résulte. La surface est naturelle ; la profondeur reste rigoureuse.

Interface Builder (1988)

Mutualisation : héritage Cocoa, framework partagé.

Interactivité : câblage visuel IBAction/IBOutlet.

LLM pour la programmation (2020–)

Mutualisation : corpus mondial de code dans les poids.

Interactivité : conversation en langue naturelle.

VI. La continuité d'une idée

Jean-Marie Hullot n'avait pas prédit les LLM. Mais les deux principes qu'il a incarnés dans Interface Builder — rendre accessible la mutualisation du code et rendre le code immédiatement interactif — traversent l'histoire de l'informatique comme un fil conducteur. Ce fil remonte plus loin encore : jusqu'à Alan Kay et Smalltalk, qui avaient compris les premiers que l'héritage objet était une forme d'organisation collective de l'intelligence humaine.

Ce que l'on observe sur cinquante ans, c'est une démocratisation continue de l'acte de programmer : Smalltalk réservait le paradigme aux chercheurs, NeXT l'ouvrait aux développeurs experts, Interface Builder l'étendait aux non-programmeurs, les LLM l'offrent à quiconque peut formuler une intention en langage naturel. À chaque étape, la puissance est préservée — ou amplifiée. Seule la barrière d'entrée s'abaisse.

Pour ceux qui, comme moi, ont construit leur pratique sur l'idée que la compréhension passe par la manipulation, que l'exploration prépare la démonstration, que la latence entre intention et observation est l'ennemi de la pensée, l'usage des LLM pour programmer est une heureuse surprise, mais aussi une confirmation.

Elle confirme que l'interactivité n'était pas un détail de confort dans le développement logiciel, mais un mode de pensée dont la portée dépasse de loin le génie logiciel. Elle s'applique aux mathématiques, à la physique, et désormais à la programmation elle-même.

Ce que j'ai cherché à offrir aux utilisateurs scientifiques depuis trente ans, les LLM me le rendent aujourd'hui : la possibilité de penser en faisant, de comprendre en explorant, de créer en conversant — mais appliquée cette fois au code lui-même.

Interface Builder avait ouvert cette voie pour les interfaces graphiques. Les LLM l'ouvrent pour la programmation.

Cet essai a été rédigé dans le cadre d'une réflexion sur la médiation des mathématiques et du calcul scientifique, à partir d'une pratique de trente ans de développement d'outils numériques interactifs à l'INLN puis au LJAD (CNRS, Université Côte d'Azur).

Merci à Jean-René Chazottes pour sa relecture minutieuse et ses précieuses suggestions de reformulation, qui ont contribué à améliorer la clarté de ce texte.

De la combinatoire algébrique à la phénoménologie

Frederic Patras — 2022-04-27T16:58:00Z

L'exercice de concilier travail mathématique et travail philosophique est difficile et périlleux. Fréquent aux débuts de l'époque moderne, il est devenu au XX^e siècle un exercice réservé à quelques grandes figures des mathématiques – souvent, d'ailleurs, les plus originales et créatrices : Poincaré, Gödel, Weyl, Grothendieck, pour ne citer que les plus emblématiques de cette conception ouverte et exigeante de l'exercice de la pensée et du rôle de l'homme de science. Gian-Carlo Rota, auquel ce texte est consacré, a su en accomplir le programme intellectuel et l'ambition humaniste, allant jusqu'à demander à enseigner à la fois mathématiques et philosophie au Massachusetts Institute of Technology.

De la combinatoire algébrique à la phénoménologie.

Connaît-on toutes les suites de Barker ?

Eliahou Shalom , Marc Monticelli — 2022-03-21T18:01:00Z

Les conjectures du trimestre / La question considérée ici concerne des suites finies de +1 et −1 satisfaisant quelques conditions élémentaires. Elle est ouverte depuis plus de 60 ans.

- Articles / Images des maths

Modèles simple du climat

Nils Berglund , Marc Monticelli — 2020-05-06T17:54:00Z

Dans cette deuxième partie d'une série de trois articles sur des modèles simples du climat, nous allons introduire une version dynamique du modèle à deux boîtes de la circulation thermohaline atlantique. Cela nécessitera l'introduction de mathématiques un peu plus sophistiquées, à savoir d'équations différentielles au lieu d'équations algébriques. En retour, nous obtiendrons des informations sur la stabilité des équilibres déterminés dans la première partie. De plus, nous pourrons étudier la réponse du système à des changements périodiques dans l'apport d'énergie solaire, et à d'autres perturbations.

Modélisation d'une épidémie (partie 2)

Corentin Bayette , Marc Monticelli — 2020-04-03T18:01:00Z

La crise sanitaire mondiale du Coronavirus Covid-19 a fait émerger le rôle des modélisations mathématiques dans la prise de décisions politiques et sanitaires. Dans l'article précédent, nous avons introduit le modèle SIR et nous avons discuté de l'effet des mesures sanitaires en illustrant leur impact sur l'évolution de l'épidémie. Nous allons maintenant définir le modèle SEIR et le complexifier grâce à une structure en âge. De plus, une courte partie (difficile mais non-essentielle, qui peut donc être évitée par le lecteur ou la lectrice) a pour objet une approche succincte des méthodes de résolution numérique utilisées. En fin d'article, une simulation interactive utilisant de nombreux paramètres est disponible.

Modélisation d'une épidémie (partie 1)

Corentin Bayette , Marc Monticelli — 2020-03-30T17:00:00Z

La crise sanitaire mondiale du Coronavirus Covid-19 a démontré le rôle des modélisations mathématiques dans la prise de décisions politiques et sanitaires. Mais comment sont faites ces modélisations ? Sur quels paramètres se basent-elles ? Afin de répondre à ces questions, nous allons modéliser l'évolution d'une épidémie dans une population donnée. Nous nous concentrerons sur un modèle en particulier : le modèle SIR. Nous discuterons également du rôle des différents paramètres et leur traduction en termes de politique de santé publique. Le but de cet article est aussi d'illustrer quelques termes aujourd'hui omniprésents dans les médias tels que « étaler le pic » ou « limiter la hauteur du pic ». Un second article détaillera d'autres modèles (SEIR et SEIR en âge principalement) ainsi que leur résolution numérique.

« Si vous voulez savoir l'évolution d'une épidémie, vous avez besoin d'un modèle mathématique »

Fernuando Peruani — 2020-03-25T13:11:48Z

Fernuando Peruani, avec un collaborateur et un étudiant en thèse, est actuellement en train de modifier et d'adapter un modèle mathématique épidémiologique qu'il avait développé il y a des années. Il cherche à décrire l'évolution du covid-19, et à prédire cette évolution dans différentes situations hypothétiques, afin par exemple d'évaluer l'impact de différentes mesures qui seraient prises pour tenter de freiner et d'enrayer l'épidémie.
Toujours en phase recherche, leur objectif n'est pas simplement d'observer la croissance exponentielle et de mesurer le taux de croissance de l'épidémie dans cette phase, mais de comprendre l'évolution temporelle de l'épidémie. Ils espèrent déterminer le maximum de personnes contaminées, la durée de l'épidémie, le nombre de personnes qui auront été touchées par le virus à la fin de l'épidémie, l'effet d'isolation, etc.
Le chercheur, en poste au Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné, nous explique pourquoi l'utilisation de modèles mathématiques est pertinente dans la crise mondiale du coronavirus.

Que valent les modèles prédictifs sur l'évolution de l'épidémie de coronavirus ?

La modélisation des épidémies est un problème classique de mathématique biologique, et c'est un problème qu'on peut aborder avec des outils mathématiques. Quand le nombre de personnes touchées par une maladie est faible, les fluctuations sont très importantes et il est impossible de prédire avec certitude l'évolution de l'épidémie (mais on peut travailler avec des probabilités : probabilité qu'on passe de 10 cas à 15 cas, etc). Une fois qu'on a quelques centaines de personnes infectées, l'évolution de l'épidémie devient presque déterministe. Pour une épidémie du type SIR (1), ce qui semble être le cas du covid-19, on observe une croissance exponentielle au début du processus de contamination, puis une saturation, et finalement le nombre de personnes touchées diminue. Cependant, le pic d'infection pendant toute l'épidémie ou le nombre de personnes touchées par le virus à la fin de l'épidémie dépendent fortement de la politique de santé publique.

Quelles données les modèles prennent-ils en considération ?

L'évolution temporelle de i) le nombre de personnes susceptible d'être infectées, ii) le nombre de personnes effectivement infectées au temps t, et iii) les personnes guéries ou décédées, ainsi que la taille de la population. Les taux d'infection, de guérison ou de mort son estimés à partir des données. Les modèles plus complexes (comme le notre) contiennent aussi une modélisation des contacts entre les personnes, et avec les moyens humains nécessaires on peut même avoir un niveau de détail incluant les types de transport : avion, train, etc, ou encore la distribution d'âge dans la population et aussi l'effet d'avoir plusieurs systèmes couplés. On habite dans un monde très connecté en ce moment où les personnes circulent d'un pays à autre. Le confinement de la France permet de contrôler l'épidémie, mais une fois la circulation de gens (entre pays) rétabli, de nouvelles vagues épidemiques risquent d'émerger. Donc, on essaie de comprendre l'évolution du covid-19 à l'échelle mondiale. Sans une coordination globale, plusieurs vagues épidemiques vont se succéder et les pays vont être touchés à plusieurs reprises. Ceci nous permet de comprendre l'impact de la mobilité au niveau de l'évolution de l'épidémie. Mais il faut faire attention à ce que le modele ne devienne pas trop compliqué non plus. Car dans ce cas, on risque de ne même plus comprendre le modèle.

Quelle marge d'erreur contiennent-ils ?

Quand on parle de milliers de personnes infectées, les modèles marchent super bien. Mais si on prend des mesures pour tenter d'agir sur la propagation de l'épidémie, il faut estimer à nouveau les paramètres.

Y en a t-t-il de meilleurs que d'autres ?

Oui. Plus on a d'informations sur le comportement des gens et au mieux on parvient à inclure ça dans le modèle, plus le modèle fonctionne bien. Il est important de réaliser que pour comprendre l'évolution d'une épidémie (i.e. le nombre d'infectés, etc) il est plus important de pouvoir décrire quantitativement le comportement des personnes, en particulier la fréquence de contact et la durée des contacts, que les détails biologiques de la maladie. Concernant la maladie, on doit seulement savoir si elle est du type SIR, SIRS (2), etc et après estimer plusieurs paramètres phénoménologiques.

Combien de temps sont-ils valables ?

En l'absence d'intervention et dès lors qu'on a des milliers de personnes contaminées, ils sont valables pendant toute l'évolution de l'épidémie et donnent une bonne description du phénomène. Mais si les personnes changent leur comportement, par exemple en raison d'une politique de santé publique qui impose des restrictions, etc, les paramètres doivent être recalculés.

Comment modéliser un phénomène qui décrit le comportement d'une variable (le covid-19) incomplètement connue ?

Comme les modèles épidémiologiques utilisent des paramètres phénoménologiques (taux d'infection, taux de guérison), on n'a pas besoin de connaitre grand chose du virus. Ici, on parle de comment prédire le nombre de personnes infectées, et de comment la mobilité des personnes modifie l'évolution de l'épidémie. On ne parle pas de quoi faire pour guérir les malades, ou comment arriver à produire un vaccin contre le virus. Ça, c'est la tache de microbiologistes, des médecins, etc. Si vous voulez savoir l'évolution d'une épidémie, vous avez besoin d'un modèle mathématique. Si vous voulez un vaccin, vous avez besoin de connaitre la biologie du virus : son interaction avec le système immunitaire, etc.

Pourquoi la courbe d'évolution de la pandémie publiée par le New-York Times (https://www.nytimes.com/2020/03/11/science/coronavirus-curve-mitigation-infection.html) montre qu'avec le confinement, l'épidémie est mieux contenue mais dure en revanche plus longtemps ?

Avec un simple modèle comme celui qu'on est un train d'utiliser on trouve que la durée est plus longue en utilisant des mesures de confinement, mais toujours en imaginant qu'il existe un minimum d'interactions entre les gens pour permettre au virus de continuer à se propager (comme dans l'image publiée par le NY times). Une durée plus longue est liée au fait que la fin de l'épidémie arrive quand le nombre d'individus susceptibles d'être contaminés est en dessous d'un seuil. Mais la seule manière de diminuer le nombre d'individus susceptibles d'être infectés est de contaminer ces individus par le virus ; après, guéris ou morts, ils ne participeront plus à la transmission de la maladie. Avec le confinement, la dynamique de la maladie est plus lente, et donc on doit attendre un peu plus pour arriver au seuil qui nous indique la fin de l'épidémie. Mais le plus important à comprendre avec le confinement, c'est que même si la durée de l'épidémie est plus longue, le nombre de personnes touchées par le virus diminue (et donc aussi les morts).

La figure ci-dessous a été justement élaborée pour discuter le phénomène.

Modèle SIR : modèle « simple » en épidémiologie, où les personnes peuvent se trouver dans trois états : i) sains et susceptibles d'être infectées, ii) infectés et donc capables de transmettre la maladie, et iii) guéris et immunisés ou morts.
Modèle SIRS : Similaire au modele SIR, mais où les personnes guéries et immunisées, après un certain temps deviennent susceptibles à nouveau d'être infectées. Le covid-19 semble être du type SIR, mais il a été observé dans un nombre faible de cas que des personnes guéries sont tombées malades à nouveau. Si cela se confirme, la situation est bien plus complexe que dans le modèle actuel.

[Simulation] Modèle de propagation épidémique & COVID-19

Marc Monticelli — 2020-03-23T13:13:00Z

Des résultats de simulations de mécanismes de propagation d'une épidémie ont été montrés dans les médias depuis le début de la crise COVID-19 en france.
Voici une expérience numérique interactive (ENI) inspirée du modèle présenté par le Washington-Post, ainsi que 2 autres plus bas sous la forme d'équations différentielles illustrants les modèles SIR et SEIR.
Ces simulations sont susceptibles d'évoluer au cours du temps.
Elles s'adressent plus particulièrement aux enseignants et médiateurs pour un travail pédagogique. Elles seront proposées prochainement dans un dossier sur « Image des maths » : « Modélisation d'une épidémie. Comment les maths aident à la prise de décision. ». Nous vous mettrons le lien dès qu'il sera en ligne.

(MAJ 17/03) Prédiction du nombre de malades de COVID19 en fonction de la date de « confinement » en France

Bruno Marcos — 2020-03-12T17:14:00Z

CE DOCUMENT EST EN CONSTANTE ÉVOLUTION.
Il EST DESTINÉ À UN PUBLIC SCIENTIFIQUE. SI VOUS SOUHAITEZ L'UTILISER À DES BUTS PÉDAGOGIQUES N'HÉSITEZ PAS À L'ADAPTER.

Pour les enseignants, vous pouvez trouver des exercices de maths sur le sujet à cette adresse : http://nice-culture.math.cnrs.fr/Ex...

A lire également, l'interview dans Nice-Matin : « Ce mathématicien niçois a mis l'évolution de l'épidémie de coronavirus en équation, voici ses prédictions ».

[MISE À JOUR 17/03] : le modèle n'est pas capable de prédire la durée de
l'épidemie, uniquement le nombre total de cas et de décès.

[MISE À JOUR 17/03] : graphes aussi en échelle linéaire pour plus de lisibilité
pour les non scientifiques.

[MISE À JOUR 16/03] : l'effet du confinement en Italie se fait sentir, mais ils
ne sont pas encore sortis de l'exponentielle [3].

[MISE À JOUR 16/03] : annonce par le président Macron d'un confinement total.

[MISE À JOUR 16/03] : dernières données pour la France, toujours dans le
régime exponentiel comme prédit la théorie en l'absence de confinement.

[MISE À JOUR 14/03] : il semble que l'effet du confinement commence à se faire sentir en Italie après 7 jours au lieu de 10 jours en Chine [2]. Cela impliquerait que le paramètre t0 pourrait être estimé à la baisse à $t_0\simeq 9$ jours au lieu de 12 jours. Ceci impliquerait que le nombre des cas et morts prédits pourrait être revu à la baisse d'un facteur $\sim \exp(3/\tau)\approx 2.4$. Demain début de confirmation.

[MISE À JOUR 13/03] : Analyse avec le nombre de morts

[MISE À JOUR 13/03] : l'analyse en utilisant le nombre de morts plutôt que le nombre de cas est plus fiable car les morts sont mieux comptabilisés, beaucoup de cas n'apparaissent pas dans les statistiques car ils sont asymptomatiques ou légers.

[MISE À JOUR 13/03] : il nous manque des données du nombre de morts en Chine pour des dates avant le 22/01. Elles sont bienvenues.

– Télécharger la toute dernière version au format PDF par ici

1 - Introduction

Le comportement du nombre de malades et de morts du COVID-19 suit une loi exponentielle universelle pour nombre de pays. Dans le graphe ci-dessous Fig. 1 se trouvent l'évolution du nombre de morts en France, en Italie, en Espagne et en Chine (sources : données OMS, qui se trouvent par exemple sur wikipédia). Les données de beaucoup de pays collapsent également [1], si l'on décale l'axe des abscisses du nombre de jours adéquat, ce qui correspond à l'avance (ou au retard) qu'a la progression de la maladie dans chaque pays. La Chine a par exemple ∼ 46 jours d'avance, l'Italie ∼ 9 jours d'avance et l'Espagne suit le même timing que la France.

Figure 1

Evolution du nombre de total morts de coronavirus COVID-19 en fonction de la date. Notez que les dates pour la Chine ont été décalées de +44 jours (pour cette raison apparaissent des dates dans le futur), celles de l'Italie + 9 jours et celles de l'Espagne de 0 jours. Les deux droites correspondent aux fits exponentiels des données françaises pour les valeurs de $\tau + \Delta \tau$ et $\tau - \Delta \tau$ respectivement. La courbe en pointillé est le fit logistique des données chinoises (voir texte).

2 - Modèle

[Mise à jour 13/03] : Il nous semble qu'il est plus efficace d'étudier le nombre de morts en fonction du temps plutôt que le nombre de cas, car ces derniers sont moins bien comptabilisés (cas légers et asymptomatiques ne rentrent pas dans les statistiques). Cette étude a été ajoutée ci-dessous.

La propagation de l'épidémie s'ajuste très bien (ce qui est bien connu en épidémiologie) avec une loi exponentielle pour le nombre de cas N en fonction du temps :

$$ \begin{equation} \label{exp} N(t)= a \exp(t/\tau). \end{equation} $$

En faisant un ajustement aux moindres carrés de la fonction exponentielle \eqrefexp pour le nombre de morts avec les données qui apparaissent dans la Fig. 1, nous trouvons pour la France $\tau \pm \Delta\tau\approx 3.99 \pm 0.16$ et pour la Chine $\tau\approx 2.69$, avec le temps mesuré en jours. Cette différence peut s'expliquer par de multiples facteurs : l'humidité, la température, la souche, des facteurs sociaux, etc.

La courbe chinoise présente une saturation car ils ont bloqué la province de Hubei le 23/01, ce qui correspondrait aux dates françaises, avec le décalage de 46 jours, au 09/03 (première droite verticale en pointillé sur le graphe). L'effet du confinement se fait sentir uniquement une semaine plus tard (deuxième droite en pointillé sur le graphe). La saturation du nombre de malades arrive trois semaines après le confinement. [Mise à jour 13/03] Il semblerait que l'Italie commence à sentir l'effet du confinement, effectué les 17-18/03 en dates françaises.

La courbe complète chinoise peut être assez bien ajustée par une distribution logistique, qui est une façon simple de modéliser ce genre de phénomènes :

$$ \begin{equation} \label{log} N_{log}(t)= \frac{k}{1+\exp\left(-\frac{t-t_0}{\tau}\right)}. \end{equation} $$

Le nouveau paramètre est $t_0$, qui nous indique le moment où l'inflexion de la courbe va se produire. Notez que la distribution logistique ne décrit pas exactement la transition vers la stabilisation du nombre de morts. Ceci n'est pas important pour notre modèle, l'important est qu'il décrive correctement l'évolution dans le régime exponentiel à temps court et le nombre de morts stabilisé dans le régime à temps long.

On peut prédire ce qui va se passer en France si on suppose que le confinement aura la même efficacité qu'en Chine. Il suffit de calculer avec les données chinoises la valeur de $t_0$, puis d'appliquer la formule $\eqref{log}$ pour prédire, à la louche, le comportement de l'épidémie en France. Pour le confinement chinois au 09/03 (en dates françaises), je trouve un $t_0 =$ 21/03, c'est-à-dire 12 jours plus tard. C'est cohérent avec le temps moyen d'incubation de $\sim$ 5.1 jours. Il est maintenant très simple de prédire la courbe épidémique française en fonction de la date de notre confinement. Les deux courbes noires sur la Fig. 2 correspondent à la prédiction si le confinement est effectué le 16/03, pour l'intervalle d'incertitude de $\tau$ mesuré plus haut. Les deux courbes vertes sur la Fig. 2 correspondent à la prédiction si le confinement est effectué le 18/03, pour l'intervalle d'incertitude de $\tau$. Ce sont évidemment des ordres de grandeurs, et ce sera probablement plus, car il est difficile de faire un confinement dans un pays démocratique avec l'efficacité de celui chinois.

Figure 2

Prédiction du nombre de morts par le coronavirus en France en fonction de la date du confinement.

Figure 3

Prédiction à nouveau du nombre de morts en échelle linéaire - linéaire par le coronavirus en France en fonction de la date du confinement.

On peut calculer facilement le nombre total de malades en fonction de la date du confinement

$$ \begin{equation} N_{log}(t\to\infty)= a\exp\left(\frac{t_{lock}+t_0}{\tau}\right), \end{equation} $$

où $t_{lock}$ est le décalage du lockdown par rapport à celui chinois, le 09/03 en dates françaises. Ceci apparaît dans la Fig. 4. À mesure que le nombre total de cas s'approche de la population totale, on s'attend cependant à une saturation à cause du manque d'individus à contaminer.

Figure 4

Nombre total de morts en fonction de la date de confinement t_lock, calculée à partir de la date chinoise, le 09/03 date française, pour les valeurs hautes et basses de $\tau$

3 - Étude du nombre de cas de COVID-19

Nous pouvons répéter exactement la même étude pour le nombre de cas total de COVID-19 le long de l'épidemie. Les résultats se trouvent dans les graphes 5, 6 et 8.
Dans la Fig. 6 (Fig. 7 en échelle linéaire - linéaire) nous pouvons voir que le nombre total de cas pour un confinement entre le 16/03 et 18/03 se situe entre 100000 et 1 million de malades, ce qui est énorme pour le système de santé (voir conclusions).

Figure 5

Evolution du nombre de cas de coronavirus COVID-19 en fonction de la date. Notez que les dates pour la Chine ont été décalés de +44 jours (pour cette raison apparaissent des dates dans le futur), celles de l'Italie + 9 jours et celles de l'Espagne de 0 jours. Les deux droites correspondent au fit exponentiel des données françaises pour les valeurs de $\tau + \Delta \tau$ et $\tau - \Delta \tau$ respectivement. La courbe en pointillé est le fit logistique des données chinoises (voir texte).

Figure 6

Prédiction des cas de le coronavirus en France en fonction de la date du confinement.

Figure 7

Prédiction des cas de le coronavirus en France en échelle linéaire - linéaire en fonction de la date du confinement.

Figure 8

Nombre total de cas en fonction de la date de confinement $t_lock$, calculée à partir de la date chinoise, le 09/03 date française, pour les valeurs hautes et basses de $\tau$.

Conclusion

L'évolution du nombre de contaminés est très similaire partout, donc on peut tirer des conclusions de ce qui se passe ailleurs, en particulier de la Chine.

Ca progresse très vite. Le nombre de contaminés est multiplié par $\sim 10$ toutes les semaines. Il suffit de regarder par exemple entre le 09/03 et le 16/03 pour la Chine.

La seule façon d'enrayer l'épidémie est d'empêcher les gens d'interagir socialement, le fameux confinement italien et chinois.

L'effet du lockdown est loin d'être immédiat. Pour le cas de la Chine : il a été mis en place le 23 janvier (ce qui correspond à l'évolution de la maladie au 9 mars en France), la saturation arrive trois semaines plus tard.

Le moment où nous allons réagir et instaurer le confinement est critique. Plus nous attendons, pire c'est, et cela très rapidement.

Donc il faut réagir rapidement, surtout qu'il va arriver un moment où la mortalité va être beaucoup plus importante car il n'y aura plus assez de places en réanimation (comme c'est déjà en train d'arriver en Italie). Environ $5\%$ des malades en auront besoin, s'il y a simultanément 200000 malades cela fait 10000 places nécessaires, ce qui est énorme même pour un pays comme la France.

Nous pouvons déjà prendre des mesures à bas coût économique et social, comme fermer l'université, qui est une mesure qui sera prise de toute façon dans les prochains jours. [Mise à jour 13/03] : annoncé par Macron pour le 16/03. Ne peut pas être considéré comme un confinement complet.

Références

[1] https://www.facebook.com/federico.riccitersenghi/posts/10158282228993559
[2] https://www.facebook.com/nonlosono/posts/10220067203104177
[3] https://www.facebook.com/federico.riccitersenghi/posts/10158302506188559

Nos neurones se synchronisent-ils ?

Julien Chevallier , Marc Monticelli , Patricia Reynaud-Bouret — 2017-07-10T18:13:00Z

Les neurophysiologistes sont aujourd'hui capables d'enregistrer simultanément l'activité de plusieurs neurones. À partir de ces enregistrements, des méthodes statistiques permettent de détecter les moments où les neurones se synchronisent. Nous présentons succinctement l'une d'entre elles dans cette première partie.